Formelsammlung der Matrizenrechnung

11 Anwendungen (S. 125)

In diesem Kapitel werden beispielhaft einige Anwendungen der Matrizentheorie vorgestellt, um zu demonstrieren, wie vielseitig deren Anwendungsgebiet ist. Die Beispiele stammen aus den Ingenieurwissenschaften und der Informatik, stellen aber nur eine kleine Teilmenge der möglichen Anwendungsfelder der Matrizentheorie dar. Denn die Matrizenrechnung wird nicht nur in den klassischen Ingenieurwissenschaften und der Informatik verwendet.

Weitere Anwendungsfelder sind die Biologie, die Volkswirtschaftslehre, die Betriebswirtschaftslehre, die Chemie, die Physik, die Medizin und die Soziologie. Es sollte betont werden, dass die hier vorgestellten Anwendungen nur kurz umrissen werden können. Dabei liegt der Schwerpunkt verständlicherweise auf der Matrizenrechnung. Nähere Betrachtungen der zugrunde liegenden Theorie sind der jeweiligen Fachliteratur zu entnehmen.

11.1 Robotik

In der Robotik wird die Matrizentheorie oft benötigt, insbesondere die Theorie der räumlichen Transformationen. In diesem Abschnitt werden beispielhaft so genannte Industrieroboter (siehe Abbildung 11.1), die autonom Objekte im Raum manipulieren sollen, betrachtet. Wichtigstes Ziel ist die Modellierung der Kinematik des Industrieroboters. Ferngesteuerte Industrieroboter bezeichnet man als Manipulatoren. Wenn man einen Roboterarm modellieren und programmieren möchte, tauchen zwei Fragen auf: Wenn alle Gelenkstellungen bekannt sind, wo befindet sich der Endeffektor (also die " Hand" des Roboterarms) im Raum?

Dies wird mit der so genannten Vorwärtskinematik oder direkten Kinematik berechnet. Die zweite, unmittelbar folgende Frage ist, wie müssen die Gelenkstellungen eingestellt werden, um den Endeffektor des Manipulators an einen gewünschten Punkt im Raum mit einer vorgegebenen Orientierung zu bringen? Diese Fragestellung wird mit der so genannten Rückwärtskinematik, auch inverse Kinematik genannt, beantwortet.

Gelenke und Manipulatoren

Ein Roboterarm besteht

1;Vorwort;6
2;Inhaltsverzeichnis;8
3;Notation;16
4;1 Grundlagen;22
4.1;1.1 Grundlagen der Matrizenrechnung;22
4.1.1;1.1.1 Definition einer Matrix;22
4.1.2;1.1.2 Relationen;22
4.1.3;1.1.3 Nullmatrix;23
4.1.4;1.1.4 Einheitsmatrix;23
4.1.5;1.1.5 Standardmatrix;23
4.1.6;1.1.6 Nichtnegative Matrix;23
4.1.7;1.1.7 Transponierte Matrix;23
4.2;1.2 Matrixoperatoren;24
4.2.1;1.2.1 Matrixaddition;24
4.2.2;1.2.2 Matrixmultiplikation;24
4.2.3;1.2.3 Skalarmultiplikation;25
4.2.4;1.2.4 Potenz;26
4.2.5;1.2.5 Kronecker-Produkt;26
4.2.6;1.2.6 Kronecker-Summe;27
4.2.7;1.2.7 Elementweise Multiplikation;28
4.3;1.3 Vektoren;28
4.3.1;1.3.1 Skalarprodukt;28
4.3.2;1.3.2 Dyadisches Produkt;29
4.3.3;1.3.3 Kreuzprodukt;29
4.3.4;1.3.4 Spatprodukt;30
4.3.5;1.3.5 Verallgemeinertes Kreuzprodukt;30
4.4;1.4 Definitionen;31
4.4.1;1.4.1 Spur;31
4.4.2;1.4.2 Bild;32
4.4.3;1.4.3 Kern;32
4.4.4;1.4.4 Kofaktor;32
4.4.5;1.4.5 Adjungierte Matrix;32
4.4.6;1.4.6 Untermatrix;33
4.4.7;1.4.7 Vec-Operator;33
4.4.8;1.4.8 Diagonale;34
4.4.9;1.4.9 Diagonaloperator;34
5;2 Determinanten;36
5.1;2.1 Definition der Determinante;36
5.1.1;2.1.1 Unterdeterminanten;36
5.1.2;2.1.2 Minor;36
5.1.3;2.1.3 Formale Determinante;36
5.2;2.2 Berechnung;37
5.2.1;2.2.1 2 × 2-Matrizen;37
5.2.2;2.2.2 3 × 3-Matrizen Regel von Sarrus;37
5.2.3;2.2.3 n × n-Matrizen Laplace scher Entwicklungssatz;38
5.2.4;2.2.4 Rechenregeln;38
5.3;2.3 Hadamard-Ungleichung;39
6;3 Lösen linearer Gleichungssysteme;40
6.1;3.1 Gleichungssysteme mit Matrizen;40
6.1.1;3.1.1 Lineares Gleichungssystem (LGS);40
6.1.2;3.1.2 Lineare Unabhängigkeit;40
6.1.3;3.1.3 Rang;41
6.1.4;3.1.4 Regularität;41
6.1.5;3.1.5 Singularität;41
6.2;3.2 Lösbarkeit;41
6.2.1;3.2.1 Eindeutige Lösbarkeit;42
6.2.2;3.2.2 Überbestimmtes Gleichungssystem;42
6.2.3;3.2.3 Unterbestimmtes Gleichungssystem;42
6.2.4;3.2.4 Homogene und inhomogene Lösung;42
6.3;3.3 Die inverse Matrix;42
6.3.1;3.3.1 Definition;42
6.3.2;3.3.2 Lösen eines LGS mit der

Dipl.-Ing. Christian Voigt promoviert seit 2005 am Fachgebiet Regelungstheorie und Robotik der Technischen Universität Darmstadt im Bereich Robotik. Prof. Dr.-Ing. Adamy ist Leiter des Fachgebiets Regelungstheorie und Robotik im Fachbereich Elektro- und Informationstechnik der Technischen Universität Darmstadt.

"Hier werden in konzentrierter Darstellung die wichtigsten Definitionen und Anwendungen beschrieben. Der Verzicht auf Beweise und Herleitungen trägt sehr zur klaren Darstellung bei. Durch die kompakte Gestaltung eignet sich das Buch hervorragend als Nachschlagewerk für das Studium und für die tägliche Arbeit als Ingenieur." Dr. Karl Friedrich Schäfer, Bergische Universität Wuppertal "Kompakte Formelsammlung mit sehr hohem Anspruchswert für Ingenieure. Sehr empfehlenswert." Prof. Dr.-Ing. A. Potchinkov, TU Kaiserslautern

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