Analysis Band 2 (PDF)
Ein Lernbuch
Das Buch ist im Stil der Analysis 1 geschrieben: Alles wird sehr ausführlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem üblichen Stoff einer Analysis 2 (Funktionenräume, Integration,...
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Produktdetails
Produktinformationen zu „Analysis Band 2 (PDF)“
Das Buch ist im Stil der Analysis 1 geschrieben: Alles wird sehr ausführlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders intensive Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem üblichen Stoff einer Analysis 2 (Funktionenräume, Integration, Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Veränderlichen) enthält das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden können. Im Kapitel "Anwendungen der Integralrechnung" gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise für konkrete Zahlen - unter anderem für die Zahl e - geführt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindelöf behandelt. Und schließlich gibt es noch einen ausführlichen Anhang zum Thema "Englisch für Mathematiker": Was muss man beachten, wenn man sich auf Englisch über Mathematik unterhalten möchte? In der 2. Auflage wurde der Text an vielen Stellen korrigiert, und in Kapitel 6 (Integration) wurde ein Abschnitt überarbeitet.
Lese-Probe zu „Analysis Band 2 (PDF)“
Einleitung(S. VII-VIII) Im Laufe der Zeit hat sich herausgestellt, welche grundlegenden Tatsachen in fast allen Teilbereichen der Mathematik eine Rolle spielen, rund um unseren Globus sind die Anfängervorlesungen daher sehr ähnlich strukturiert.
Insbesondere gibt es Standards für die Analysis: Von allen Mathematikern dieser Welt wird die Kenntnis der wichtigsten Ideen rund um Limites, Differentiation und Integration vorausgesetzt. Auf die Themen, die in Band 1 noch nicht besprochen wurden, wird hier in vier Kapiteln eingegangen werden. Der Inhalt des vorliegenden zweiten Bandes der Analysis kann wie folgt zusammengefasst werden.
Zunächst behandeln wir in Kapitel 5 noch einmal Funktionen. Diesmal geht es aber nicht darum, einzelne Funktionen zu definieren oder zu untersuchen. Es soll vielmehr präzisiert werden, was es bedeuten könnte, dass eine Funktionenfolge gegen eine Funktion konvergiert. Es gibt dafür eine Reihe von sinnvollen Möglichkeiten, wir kümmern uns hauptsächlich um punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz .
In den Anwendungen wird dabei häufig die Frage wichtig, welche analytischen Eigenschaften dabei erhalten bleiben. Wir werden (unter anderem) beweisen, dass gleichmäßige Limites stetiger Funktionen wieder stetig sind. Gleichmäßige Konvergenz kann als Konvergenz in einem geeigneten normierten Raum interpretiert werden, dabei ergibt sich im Fall stetiger Funktionen sogar ein vollständiger Raum.
Da die Tragweite von Kompaktheitsschlüssen schon in Band 1 hinreichend deutlich geworden sein sollte, ist die Frage nahe liegend, wie man kompakte Teilmengen derartiger Funktionenräume charakterisieren kann. Das ist auf überraschend einfache Weise möglich: Der Satz von Arzel`a-Ascoli besagt, dass die Charakterisierung beinahe genauso ist wie im endlich-dimensionalen Fall. Im letzten Abschnitt des Kapitels werden dann einige berühmte Resultate bewiesen, die sich auf vollständige metrische Räume beziehen: Der Banachsche
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Fixpunktsatz, der Cantorsche Durchschnittssatz und der Bairesche Kategoriensatz .
Diese Resultate in Kombination mit der Vollständigkeit der wichtigsten Funktionenräume lassen überraschende und tief liegende Folgerungen zu, einige werden dann auch in späteren Kapiteln bewiesen werden. Kapitel 6 ist der Integration gewidmet, sie wird hier aus dem Problem der Flächenmessung entwickelt. Naiv könnte man meinen, dass der Begriff "Fläche" intuitiv klar ist.
Das Problem ist jedoch komplizierter, wir werden auf die Schwierigkeiten hinweisen und dann die Theorie des Riemann-Integrals systematisch entwickeln. Im ersten Anlauf wird das Problem zwar theoretisch gelöst werden, es ist damit jedoch noch nicht möglich, für konkret gegebene Funktionen das Integral auch wirklich auszurechnen.
Diese Schwierigkeit wird durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ausgeräumt, danach ist Integrieren so etwas wie die Umkehrung des Differenzierens. Folglich können alle Ergebnisse zur Differentiation hier nutzbar gemacht werden.
Diese Resultate in Kombination mit der Vollständigkeit der wichtigsten Funktionenräume lassen überraschende und tief liegende Folgerungen zu, einige werden dann auch in späteren Kapiteln bewiesen werden. Kapitel 6 ist der Integration gewidmet, sie wird hier aus dem Problem der Flächenmessung entwickelt. Naiv könnte man meinen, dass der Begriff "Fläche" intuitiv klar ist.
Das Problem ist jedoch komplizierter, wir werden auf die Schwierigkeiten hinweisen und dann die Theorie des Riemann-Integrals systematisch entwickeln. Im ersten Anlauf wird das Problem zwar theoretisch gelöst werden, es ist damit jedoch noch nicht möglich, für konkret gegebene Funktionen das Integral auch wirklich auszurechnen.
Diese Schwierigkeit wird durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ausgeräumt, danach ist Integrieren so etwas wie die Umkehrung des Differenzierens. Folglich können alle Ergebnisse zur Differentiation hier nutzbar gemacht werden.
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Autoren-Porträt von Ehrhard Behrends
Ehrhard Behrends ist Professor für Mathematik an der FU Berlin. Er ist Autor von zahlreichen Fachbüchern, auch setzt er sich - u.a. als Betreuer der Internetseite www.mathematik.de - intensiv für die Popularisierung von Mathematik ein. Ebenfalls bei Vieweg erschienen "Alles Mathematik" (herausgegeben mit M. Aigner) und "Fünf Minuten Mathematik".
Bibliographische Angaben
- Autor: Ehrhard Behrends
- 2007, 2. Aufl. 2007, 378 Seiten, Deutsch
- Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
- ISBN-10: 3834891770
- ISBN-13: 9783834891778
- Erscheinungsdatum: 29.10.2007
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eBook Informationen
- Dateiformat: PDF
- Größe: 12 MB
- Ohne Kopierschutz
- Vorlesefunktion
Pressezitat
"Das Buch schließt mit einem fast unterhaltsamen Abschnitt über "Englisch für Mathematiker" der ebenfalls wie das gesamte Werk auch Nicht-Mathematikern zur Lektüre, zur Vertiefung und als Ergänzung zu den einschlägigen Vorlesungen empfohlen sei."ImpulsE, 12/2007
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