Das Quadratwurzelgesetz von Penrose (PDF)

Bachelorarbeit aus dem Jahr 2014 im Fachbereich Mathematik - Stochastik, Note: 1,5, FernUniversität Hagen, Sprache: Deutsch, Abstract: Oft fragt man sich als Wahlberechtigter, ob diese eine Stimme von so vielen überhaupt etwas bewirken kann. In der Mathematik wurden Formeln entwickelt, die die sogenannte Abstimmungsmacht von Wählern erfassen und damit berechnen, ob und inwiefern man eine ausstehende Entscheidung durch Abgabe seiner Stimme wesentlich beeinflussen kann.

Diese Arbeit untersucht die vergangenen und aktuellen politischen Machtverhältnisse in der Europäischen Union, die bereits Grundlage vieler Diskussionen waren. Es wird zunächst vorgestellt, welche Möglichkeiten es gibt, Abstimmungsstärke anhand von Formeln zu berechnen.

Folgende Fragen sollen nun näher beleuchtet werden:

Waren und sind die Machtverhältnisse in der Europäischen Union fair verteilt oder nicht? Haben EU-Bürger, unabhängig welchen Herkunftslandes, den gleichen Einfluss auf Entscheidungen, die im Rat der Europäischen Union getroffen werden? Können auch Gesetze verabschiedet werden, obwohl die Mehrheit dagegen ist?
Die Antworten darauf zeigen, dass selbst das aktuelle Wahlsystem noch änderungsbedürftig ist und wir werden überlegen, wie man die Wahlregeln umgestalten könnte, damit sie gerecht sind. Sie sollten dabei möglichst einfach und verständlich sein, auf mathematischen Formeln basieren und bestimmte Eigenschaften erfüllen. Eine Antwort auf das Problem könnte das Quadratwurzelgesetz von Penrose geben, das Lionel Penrose 1946 aufstellte. Es basiert auf einer Machtdefnition, die John Banzhaf 1965 aufgriff und formulierte. Das 1. Quadratwurzelgesetz von Penrose besagt, dass unter gewissen Voraussetzungen die Penrose-Zahlen (die den politischen Einfluss messen) der Repräsentanten im EU-Ministerrat proportional zur Quadratwurzel der zu vertretenden Bevölkerung sein müssen. Dann ist garantiert, dass jeder EU-Bürger den gleichen Einfluss auf Entscheidungen im EU-Ministerrat hat. Nachdem wir das Gesetz bewiesen haben, beleuchten wir nochmals die Voraussetzungen näher.

Zur Anwendungstauglichkeit des Gesetzes ist es sinnvoll ein zugehöriges Quorum sowie eine faire Stimmenverteilung berechnen. Dies, auch bekannt als Jagiellonischer Kompromiss, stellten die Mathematiker Wojciech Slomczynski und Karol Zyczkowski von der Jagiellonen-Universität Krakau 2004 auf.

Schließlich leiten wir noch eine analoge Regel zum Quadratwurzelgesetz her, die allerdings auf einer anderen Machtdefnition als der zuvor Verwendeten aufbaut, nämlich dem Shapley-Shubik-Index. Ein überraschendes Ergebnis liefert wiederum Grund zur Diskussion.