Euler-Lagrange-Gleichungen in der angewandten Analysis (PDF)

Studienarbeit aus dem Jahr 2011 im Fachbereich Mathematik - Analysis, Universität Rostock (Institut für Mathematik), Veranstaltung: Mathematisches Seminar - Angewandte Analysis, Sprache: Deutsch, Abstract: In diesem Seminar geht es um die mathematische Modellierung und Optimierung von Windkraftanlagen bzw. Windrädern. Dazu wird es notwendig sein einführend auf die Mechanik einzugehen. Die Mechanik handelt von der Dynamik der Teilchen, starren Körpern oder auch kontinuierlichen Medien. Die Mechanik hat durch die Mechanik Newtons eine enorme Rolle für die Mathematik, Technik und Naturwissenschaften zugesprochen bekommen. Die Entwicklung von Differentialgleichungen wurde durch die Behandlung der Mechanik angeregt. Heutzutage ist der Einfluss sogar auf die Gruppendarstellung, Geometrie und Topologie nachweisbar, wobei sich diese Entwicklungen wieder auf die anderen Wissenschaften auswirk(t)en. Für dieses Seminar interessante Formulierungen der Mechanik sind einerseits die durch Lagrange und andererseits die durch Hamilton. Diese sind umfassender als die Formulierung der Mechanik Newtons, da sie auch Feldtheorien und Zwangsbedingungen berücksichtigen. Dabei unterliegen diese zwei Formulierungen unterschiedlicher Betrachtungweisen der Mechanik. Während die Hamiltonsche Mechanik unmittelbar auf dem Energiekonzept beruht und eng in Verbindung mit der Quantenmechanik und allgemeinen Relativitätstheorie steht, ist die Lagrangesche Mechanik auf Variationsprinzipien begründet, die direkt zur allgemeinen Relativitätstheorie führt.
Diese Variationsprinzipien sind Koordinatensystemunabhängig. Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit reellen Funktionalen, deren Argumente Funktionen sind. Diese können etwa Integrale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionale, also solche, für die das Funktional ein Maximum, ein Minimum oder einen Sattelpunkt annimmt. Es gibt zwei Arten von Variationsprinzipien. Einerseits gibt es die Differentialprinzipien, zu denen das D' Alambertsche Prinzip zu zählen ist. Andererseits existieren auch Integralprinzipien. Es soll in den folgenden Kapiteln vor allem darum gehen, dass eine Einführung in die Mechanik und einige Anwendungsbeispiele gegeben werden
sollen.