Leitfaden Geometrie (PDF)
Für Studierende der Lehrämter
Der Leitfaden Geometrie führt Lehramtsstudierende in zentrale Teilgebiete der Geometrie ein.
Durchgängige Orientierung an Erkenntnissen der Lernpsychologie und Textproduktion, beispielorientiertes Entdecken mathematischer Sätze und Beweise, Motivation...
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Produktinformationen zu „Leitfaden Geometrie (PDF)“
Der Leitfaden Geometrie führt Lehramtsstudierende in zentrale Teilgebiete der Geometrie ein.
Durchgängige Orientierung an Erkenntnissen der Lernpsychologie und Textproduktion, beispielorientiertes Entdecken mathematischer Sätze und Beweise, Motivation durch interessante Quereinstiege und vielfältige Bezüge zu Alltagsfragestellungen kennzeichnen die Konzeption des Leitfadens Geometrie. Der Text wurde für die 3. Auflage sorgfältig durchgesehen und verbessert.
Durchgängige Orientierung an Erkenntnissen der Lernpsychologie und Textproduktion, beispielorientiertes Entdecken mathematischer Sätze und Beweise, Motivation durch interessante Quereinstiege und vielfältige Bezüge zu Alltagsfragestellungen kennzeichnen die Konzeption des Leitfadens Geometrie. Der Text wurde für die 3. Auflage sorgfältig durchgesehen und verbessert.
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3 Axiomatik (S. 64-65)3.1 Zum Einstieg
Aus der Schule ist Ihnen bekannt, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° betragt. Falls Sie jemand fragt, warum das so ist, werden Sie vielleicht ein Bild wie das rechts zeichnen und erläutern, dass Wechselwinkel an Parallelen gleich groß sind und die drei Winkel a, p und y sich zu einem gestreckten Winkel, also zu 180° ergänzen.
Aber: Könnten Sie auf Nachfrage beweisen, dass Wechselwinkel gleich groß sind?
Dies wäre prinzipiell möglich, wir werden das später auch tun. Aber spätestens bei der Nachfrage, wer uns denn garantiert, dass es durch den Eckpunkt C des Dreiecks genau eine Parallele zur Geraden AB gibt, mussten Sie passen. Das lässt sich nicht beweisen. Wir stoßen an dieser Stelle zum ersten Mai auf eine Setzung oder ein so genanntes Axiom. Unter einem Axiom wollen wir einen von Fachleuten festgelegten kostensfähigen Grundsatz verstehen, der keines weiteren Beweises bedarf. In unserer Geometrie legen wir einfach fest: Es soll so sein, dass es durch einen Punkt außerhalb einer Geraden genau eine Gerade gibt, die die andere nicht schneidet.
Unsere Bemühungen, geometrische Erfahrungen zu erklären, zu begründen, Aussageketten aufzustellen wie „wenn das und das gilt, dann gilt auch jenes, woraus dann wieder dieses folgt usw." ist in der Geschichte der Menschheit ein noch relativ junges Phänomen. Schaut man sich die Mathematik der alten Ägypter oder der Babylonier an (jeweils etwa im Zeitraum von 3000 v. Chr. bis etwa 200 n. Chr.), so findet man keine solchen Fragen nach dem warum. Der Satz des Pythagoras war den Ägyptern und Babyloniern bekannt.
Bei den regelmäßig auftretenden Überschwemmungen durch den Nil bzw. Euphrat und Tigris musste immer wieder das Land neu vermessen werden, und zur Herstellung rechter Winkel wurde damals schon die
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Umkehrung des Satzes von Pythagoras benutzt. Aus praktischen Bedürfnissen heraus haben die Menschen solche Gesetzmäßigkeiten entdeckt und empirisch immer und immer wieder bestätigt. Ein solches Vorgehen nennt man induktiv. Induktiv erhält man z.B. den Satz von der Winkelsumme im Dreieck durch das möglichst genaue Ausmessen möglichst vieler verschiedenartiger Dreiecke. Schüler finden diesen Satz induktiv, wenn sie einer Vielzahl von verschiedenen Papierdreiecken die drei Innenwinkel abschneiden und dann feststellen, dass sich die ausgeschnittenen Teile stets zu einem gestreckten Winkel zusammenlegen lassen.
Dieses induktive Vorgehen bringt allerdings zwei Probleme mit sich. Zum einen ist es prinzipiell unmöglich, alle Dreiecke auszumessen. Wie weit kann man also den Satz von der Winkelsumme im Dreieck verallgemeinern Gilt er auch für mikroskopisch kleine oder riesengroße Dreiecke? Das andere Problem betrifft die Messgenauigkeit. Selbst bei noch so präzisen Messgeraten müssen wir immer einen Messfehler berücksichtigen. Vielleicht beträgt die Winkelsumme im Dreieck nicht 180°, sondern 179,999995°, Wer kann das entscheiden? Etwa 600 V. Chr. gaben die Griechen (Thales, Pythagoras, Euklid, Hippokrates u.v.a.) der Mathematik ein neues Gesicht. Zusätzlich zu dem „Was ist?" fragten sie „Warum ist das so?". Das war die Geburtsstunde der exakten Mathematik (Übrigens auch die Geburtsstunde des Berufswissenschaftlertums).
Empirisch gefundene Gesetzmäßigkeiten versuchte man durch logische Schlüsse zu begründen. Das nennt man deduktives Vorgehen. Am Anfang einer solchen Schlusskette (oder wenn man mit dem Satz von der Winkelsumme anfängt und sich nach unten durchfragt am Ende einer Fragekette) stehen Aussagen, die man nicht beweisen kann.
Dieses induktive Vorgehen bringt allerdings zwei Probleme mit sich. Zum einen ist es prinzipiell unmöglich, alle Dreiecke auszumessen. Wie weit kann man also den Satz von der Winkelsumme im Dreieck verallgemeinern Gilt er auch für mikroskopisch kleine oder riesengroße Dreiecke? Das andere Problem betrifft die Messgenauigkeit. Selbst bei noch so präzisen Messgeraten müssen wir immer einen Messfehler berücksichtigen. Vielleicht beträgt die Winkelsumme im Dreieck nicht 180°, sondern 179,999995°, Wer kann das entscheiden? Etwa 600 V. Chr. gaben die Griechen (Thales, Pythagoras, Euklid, Hippokrates u.v.a.) der Mathematik ein neues Gesicht. Zusätzlich zu dem „Was ist?" fragten sie „Warum ist das so?". Das war die Geburtsstunde der exakten Mathematik (Übrigens auch die Geburtsstunde des Berufswissenschaftlertums).
Empirisch gefundene Gesetzmäßigkeiten versuchte man durch logische Schlüsse zu begründen. Das nennt man deduktives Vorgehen. Am Anfang einer solchen Schlusskette (oder wenn man mit dem Satz von der Winkelsumme anfängt und sich nach unten durchfragt am Ende einer Fragekette) stehen Aussagen, die man nicht beweisen kann.
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Autoren-Porträt von Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski
Dr. Susanne Müller-Philipp und Dr. Hans-Joachim Gorski lehren an der Universität Münster Mathematik und ihre Didaktik für Lehramtsstudiengänge.
Bibliographische Angaben
- Autoren: Susanne Müller-Philipp , Hans-Joachim Gorski
- 2008, 3.Aufl. 2005, 272 Seiten, Deutsch
- Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
- ISBN-10: 3834891401
- ISBN-13: 9783834891402
- Erscheinungsdatum: 13.05.2008
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eBook Informationen
- Dateiformat: PDF
- Größe: 17 MB
- Ohne Kopierschutz
- Vorlesefunktion
Pressezitat
"Dies ist kein typisches , sondern es gibt angenehme Redundanzen, die dem Leser schnell das Gefühl vermitteln, etwas verstanden zu haben."Die Wurzel, 03-04/2005
"Die Autoren, denen die Ausbildung der LehramtskandidatInnen ein besonderes Anliegen ist, legen hier ein didaktisch hervorragend aufbereitetes Buch zur Geometrieausbildung vor, die ja oft sehr im Argen liegt."
Monatshefte für Mathematik, 03/2002
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