Numerik linearer Gleichungssysteme (PDF)
Eine Einführung in moderne Verfahren. Mit MATLAB-Implementierung von C. Vömel
Lineare Gleichungssysteme treten sehr häufig bei der numerischen Simulation praxisrelevanter Problemstellungen auf. Die gezielte Nutzung verfügbarer Algorithmen zur direkten oder iterativen Lösung der Gleichungssysteme ist folglich von grundlegender...
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Produktinformationen zu „Numerik linearer Gleichungssysteme (PDF)“
Lineare Gleichungssysteme treten sehr häufig bei der numerischen Simulation praxisrelevanter Problemstellungen auf. Die gezielte Nutzung verfügbarer Algorithmen zur direkten oder iterativen Lösung der Gleichungssysteme ist folglich von grundlegender Bedeutung bei der Entwicklung effizienter Methoden in allen Anwendungsgebieten.
Das Ziel des Buches ist eine umfassende Einführung in die Lösung großer Gleichungssysteme, wodurch ein wichtiges Teilgebiet der Numerischen Linearen Algebra dargestellt wird. Das Buch enthält alle benötigen Grundlagen, so dass es auch zum Selbststudium sehr gut geeignet ist. Die gewählte Darstellung der hergeleiteten Algorithmen lässt zudem eine direkte Umsetzung in eine beliebige Programmiersprache zu. Darüberhinaus werden explizit Implementierungen in MATLAB angegeben.
In der vorliegenden 3. Auflage wurden einige Übungsaufgaben hinzugefügt, Lösungen und weitere Materialien dazu werden unter ViewegPlus bereitgestellt.
Das Ziel des Buches ist eine umfassende Einführung in die Lösung großer Gleichungssysteme, wodurch ein wichtiges Teilgebiet der Numerischen Linearen Algebra dargestellt wird. Das Buch enthält alle benötigen Grundlagen, so dass es auch zum Selbststudium sehr gut geeignet ist. Die gewählte Darstellung der hergeleiteten Algorithmen lässt zudem eine direkte Umsetzung in eine beliebige Programmiersprache zu. Darüberhinaus werden explizit Implementierungen in MATLAB angegeben.
In der vorliegenden 3. Auflage wurden einige Übungsaufgaben hinzugefügt, Lösungen und weitere Materialien dazu werden unter ViewegPlus bereitgestellt.
Lese-Probe zu „Numerik linearer Gleichungssysteme (PDF)“
Vorwort (S. VII-VIII)Im Rahmen der Numerik linearer Gleichungssysteme befassen wir uns mit der effizienten Lösung großer, linearer Systeme, wodurch ein wichtiges Teilgebiet der Numerischen Linearen Algebra betrachten wird, das in den letzten Jahren immer größere Bedeutung gewonnen hat. Der in den vergangenen zwei Dekaden vollzogene drastische Anstieg der Leistungsfähigkeit von Personal Computern, Workstations und Großrechneranlagen hat zu einer weitverbreiteten Entwicklung numerischer Verfahren zur Simulation praxisrelevanter Problemstellungen in der Medizin, der Physik, den Ingenieurwissenschaften und vielen weiteren Bereichen geführt.
Neben der Methode der Finiten Elemente, die inhärent auf ein lineares Gleichungssystem führt, benötigen auch die häufig verwendeten Finite-Differenzenund Finite-Volumen-Verfahren in Kombination mit einem impliziten Zeitschrittverfahren einen Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme. So ist es nicht verwunderlich, daß die Forschungsaktivitäten auf dem Gebiet der Gleichungssystemlöser einen deutlichen Aufschwung erfahren und zur Entwicklung einer Vielzahl effizienter Verfahren geführt haben.
Das vorliegende Buch basiert auf den Inhalten einer vom Autor am Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg gehaltenen vierstündigen Vorlesung, die sich im Kontext der erwähnten Entwicklungen mit der Herleitung und Analyse klassischer sowie moderner Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme befaßte. Aufgrund der in diesem Gebiet vorliegenden Vielzahl unterschiedlicher direkter und iterativer Verfahren, ist es innerhalb einer vierstündigen Vorlesung sicherlich nicht möglich alle existierenden Algorithmen vorzustellen.
Ziel dieses Manuskriptes ist es daher, dem interessierten Leser einen Überblick über weite Bereiche dieses Gebietes zu vermitteln, die für praktische Anwendungen wichtigen Methoden zu diskutieren, verwandte Algorithmen durch Bemerkungen und Literaturhinweise zu integrieren und die
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Erarbeitung weiterer Verfahren zu erleichtern.
Die vorausgesetzten Grundkenntnisse beschränken sich hierbei gezielt aufübliche Inhalte der Analysis und linearen Algebra mathematischer Vorlesungen in den ersten zwei Semestern eines Hochschulfaches, da die beschriebenen Methoden weit über die Grenzen eines Mathematikstudiums von großem Interesse sind. Zur Unterstützung eines Selbststudiums werden zudem alle benötigten Grundlagen in einem eigenständigen Kapitel bereitgestellt.
Nachdem das Auftreten linearer Gleichungssysteme im ersten Kapitel anhand einiger Modellbeispiele beschrieben wird, stellen wir im zweiten Kapitel die für die folgenden Methoden benötigten Grundlagen der linearen Algebra zur Verfügung. Das dritte Kapitel widmet sich den direkten Verfahren, die häufig in modernen Gleichungssystemlösern involviert sind oder teilweise in unvollständigen Versionen als Vorkonditionierer verwendet werden.
Der Schwerpunkt liegt auf der Beschreibung iterativer Verfahren, die im anschließenden vierten Kapitel vorgestellt werden. Hierbei wird stets besonderen Wert auf eine Motivation sowie eine übersichtliche, einheitliche und mathematisch abgesicherte Herleitung der iterativen Gleichungssystemlöser gelegt. Neben den Splitting-Methoden, wie zum Beispiel dem Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren, der Richardson-Iteration und den Relaxationsverfahren, beschreiben wir zun chst die Zweigittermethode und anschließend das Mehrgitterverfahren sowie dessen vollst ndige Variante. Die Herleitung des CG-Verfahrens nehmen wir durch eine Kombination der zuvor beschriebenen Verfahren des steilsten Abstiegs und der konjugierten Richtungen vor.
Desweiteren betrachten wir vom GMRES-Verfahren uber die BiCG-Methode bis zum QMRCGSTAB-Verfahren eine große Bandbreite moderner Krylov-Unterraum-Methoden, die zur L sung von Gleichungssystemen mit einer unsymmetrischen und indeffiniten Matrix geeignet sind. Das abschließende fünfte Kapitel ist einer ausführlichen Beschreibung und Untersuchung m glicher Pr konditionierungstechniken gewidmet, da die dargestellten Verfahren bei praxisrelevanten Problemstellungen in der Regel erst in Kombination mit einem geeigneten Vorkonditionierer eine stabile und effiziente Gesamtmethode liefern.
Die vorausgesetzten Grundkenntnisse beschränken sich hierbei gezielt aufübliche Inhalte der Analysis und linearen Algebra mathematischer Vorlesungen in den ersten zwei Semestern eines Hochschulfaches, da die beschriebenen Methoden weit über die Grenzen eines Mathematikstudiums von großem Interesse sind. Zur Unterstützung eines Selbststudiums werden zudem alle benötigten Grundlagen in einem eigenständigen Kapitel bereitgestellt.
Nachdem das Auftreten linearer Gleichungssysteme im ersten Kapitel anhand einiger Modellbeispiele beschrieben wird, stellen wir im zweiten Kapitel die für die folgenden Methoden benötigten Grundlagen der linearen Algebra zur Verfügung. Das dritte Kapitel widmet sich den direkten Verfahren, die häufig in modernen Gleichungssystemlösern involviert sind oder teilweise in unvollständigen Versionen als Vorkonditionierer verwendet werden.
Der Schwerpunkt liegt auf der Beschreibung iterativer Verfahren, die im anschließenden vierten Kapitel vorgestellt werden. Hierbei wird stets besonderen Wert auf eine Motivation sowie eine übersichtliche, einheitliche und mathematisch abgesicherte Herleitung der iterativen Gleichungssystemlöser gelegt. Neben den Splitting-Methoden, wie zum Beispiel dem Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren, der Richardson-Iteration und den Relaxationsverfahren, beschreiben wir zun chst die Zweigittermethode und anschließend das Mehrgitterverfahren sowie dessen vollst ndige Variante. Die Herleitung des CG-Verfahrens nehmen wir durch eine Kombination der zuvor beschriebenen Verfahren des steilsten Abstiegs und der konjugierten Richtungen vor.
Desweiteren betrachten wir vom GMRES-Verfahren uber die BiCG-Methode bis zum QMRCGSTAB-Verfahren eine große Bandbreite moderner Krylov-Unterraum-Methoden, die zur L sung von Gleichungssystemen mit einer unsymmetrischen und indeffiniten Matrix geeignet sind. Das abschließende fünfte Kapitel ist einer ausführlichen Beschreibung und Untersuchung m glicher Pr konditionierungstechniken gewidmet, da die dargestellten Verfahren bei praxisrelevanten Problemstellungen in der Regel erst in Kombination mit einem geeigneten Vorkonditionierer eine stabile und effiziente Gesamtmethode liefern.
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Autoren-Porträt von Andreas Meister
Prof. Dr. Andreas Meister lehrt am Fachbereich Mathematik und Informatik der Universität Kassel.
Bibliographische Angaben
- Autor: Andreas Meister
- 2008, 3.Aufl. 2008, 246 Seiten, Deutsch
- Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
- ISBN-10: 383489446X
- ISBN-13: 9783834894465
- Erscheinungsdatum: 19.01.2008
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eBook Informationen
- Dateiformat: PDF
- Größe: 2.25 MB
- Ohne Kopierschutz
- Vorlesefunktion
Pressezitat
"Dem Autor gelingt mit seinem Buch das Kunststück, einerseits diejenigen anzusprechen, die in der Materie arbeiten, andererseits profitiert auch derjenige Leser, der etwa am Arbeitsplatz sich schnell sachkundig machen und wissen möchte, 'was tut den das Verfahren xy?' Empfehlenswert!"ImpulsE, 13/2009
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