Variationsrechnung (PDF)

Dieses Buch ist eine Einführung in die Variationsrechnung, die das Ziel hat, reellwertige Funktionale zu minimieren oder zu maximieren. Die Funktionale sind Integrale über einem Intervall, weshalb die dafür zulässigen Funktionen von nur einer unabhängigen Variablen abhängen. Motiviert werden die Fragestellungen durch viele und zum Teil auch historisch bedeutsame Beispiele.

Die Theorie führt in den Euler-Lagrange-Kalkül und in die Direkten Methoden der Variationsrechnung ein. Die Ausführungen werden von Abbildungen begleitet, die das Verständnis erleichtern. Zu jedem Abschnitt werden Übungsaufgaben gestellt, deren Lösungen am Ende des Buches zu finden sind.

Das Buch ist im Bachelorstudium für eine Vorlesung ab dem 3. Semester geeignet. Die Hilfsmittel, welche über die der Grundvorlesungen hinausgehen, werden im Text oder im Anhang bereitgestellt.



Historische Beispiele - Funktionale und zulässige Funktionen - Die erste Variation - Die Euler-Lagrange-Gleichung - Minimalflächen vom Rotationstyp - Das Problem der Dido - Das Brachystochronenproblem des Johann Bernoulli - Natürliche Randbedingungen - Variationsprobleme in parametrischer Form - Die Weierstraß-Erdmannschen Eckenbedingungen - Isoperimetrische Nebenbedingungen - Holonome und nichtholonome Nebenbedingungen - Geodätische - Transversalität: Freie Ränder auf Mannigfaltigkeiten - Der Satz von Noether - Mechanik in der Formulierung von Lagrange und Hamilton - Das Zweikörperproblem - Die Direkte Methode der Variationsrechnung - Ausführung und Anwendung der Direkten Methode auf Sturm-Liouvillesche Rand- und Eigenwertprobleme



Studierende der Mathematik und Physik an Universitäten und Fachhochschulen

Studierende des Lehramts Mathematik und Physik

Studierende von Ingenieurwissenschaften



Prof. Dr. Hansjörg Kielhöfer, Lehrstuhl für Nichtlineare Analysis, Universität Augsburg