Zahlentheorie für Einsteiger (PDF)
Eine Einführung für Schüler, Lehrer, Studierende und andere Interessierte
Dieses Buch richtet sich an Schüler, Lehrer, Studenten und andere Interessierte, die eine erste Wanderung in das geheimnisvolle Reich der natürlichen Zahlen machen wollen. Dabei kommt das Spielerische und Experimentelle nicht zu kurz. "Ein sehr zu...
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Produktinformationen zu „Zahlentheorie für Einsteiger (PDF)“
Dieses Buch richtet sich an Schüler, Lehrer, Studenten und andere Interessierte, die eine erste Wanderung in das geheimnisvolle Reich der natürlichen Zahlen machen wollen. Dabei kommt das Spielerische und Experimentelle nicht zu kurz. "Ein sehr zu empfehlendes, interessantes Buch mit zahlreichen Aufgaben und Computerprogrammen. Die wichtigsten Inhalte sind die vollständige Induktion, der Euklidische Algorithmus, der kleine Fermatsche Satz und Pseudoprimzahlen. Als krönenden Abschluss vermittelt das Buch das Verständnis eines wichtigen Primzahltests." Auch die fünfte Auflage soll ermuntern, Zahlentheorie in der Schule zu betreiben. Der Text wurde nochmals durchgesehen und verbessert. Zusätzliche Aufgaben und Lösungen finden sich im Online-Service.
Lese-Probe zu „Zahlentheorie für Einsteiger (PDF)“
2 Euklidischer Algorithmus (S. 28-29)2.2 Zahlen benennen. Stellenwertsysteme
Hinc incipit algorismus.
Haec algorismus ars praesens dicitur in qua
talibus indorum fruimur bis quinque figuris
0987654321
Hier beginnt der Algorismus. Diese neue Kunst heißt Algorismus, in der wir aus diesen zweimal fünf Ziffern 0, 9, . . . , 1 der Inder Nutzen ziehen. (Der Anfang einer Schrift zur Arithmetik des Minoritenmönchs Alexander de Villa Dei. Er lebte um 1240 in Paris.) Versetze dich mit der Zeitmaschine zurück in die Steinzeit. Vom Hordenführer bekommst du den Auftrag, zu einem befreundeten Stamm zu reisen und festzustellen, welcher der beiden Stämme mehr Schafe hat. Du hast keine Ahnung vom Zählen. Zahlen sind noch nicht erfunden. Trotzdem verzagst du nicht an deinem Auftrag. Du hast beim Dorfschamanen gut aufgepasst und hast viele wunderbare Gedichte gelernt. Also bittest du den Dorfhirten, alle Schafe einzeln an dir vorbeizutreiben. Du wählst dir ein besonders schönes Gedicht und beginnst.
Die Sonne tönt nach alter Weise
In Brudersphären Wettgesang,
Und ihre vorgeschriebene Reise vollendet sie mit Donnergang.
...
Bei jedem Schaf, welches vorbeikommt, sprichst du ein Wort weiter. Beim letzten Schaf merkst du dir die Stelle, an der du angekommen bist und brichst zum anderen Stamm auf. Dort machst du genau das Gleiche, und du kannst die Frage deines Häuptlings leicht beantworten. Kinder gehen heute noch so vor, wenn sie etwa Abzählverse verwenden. Ja, selbst wir zählen noch auf diese Weise, wenn es sich um kleine Zahlen handelt. Wir rezitieren das zugegeben langweilige Gedicht " Eins, Zwei..." Diese Zählweise ist nur für kleine Zahlen brauchbar. In dem Buch von Rucker, Seite 136, wird das an einem schö nen Beispiel verdeutlicht. " In seiner Erzählung Der ged chtnisstarke Funes beschreibt Borges einen Jungen, der über ein perfektes Gedächtnis verfügt und für die ersten 24000 Zahlen jeweils eigene Namen findet:
... mehr
Anstatt von siebentausendreizehn, spricht er (beispielsweise) von Maximo Perez , siebentausendvierzehn heißt bei ihm Eisenbahn. Andere Zahlen tragen Namen wie Luis Melian Lafinur, Olimar, ... Borges weist darauf hin, dass der Nachteil eines derartigen ungewöhnlichen Zahlsystems nicht nur darin besteht, dass es schwierig zu erlernen ist. Vielmehr stellt sich noch ein weiteres Problem, nämlich dass solche Systeme keinen unbegrenzten Vorrat an neuen Namen für Zahlen bereitstellen."
Bei großen Zahlen wäre unser Gedächtnis hoffnungslos überfordert. Unsere Phantasie würde nicht ausreichen, um immer wieder neue Zahlnamen zu erfinden. Noch einen wesentlicher Nachteil hat dieses Benennungssystem. Es steht in keinem Zusammenhang mit den Rechenoperationen, die in den natürlichen Zahlen möglich sind. Es muss also ein einfaches Buchhaltungssystem her. Das einfachste ist das so genannte Zaunsystem. Für jedes vorbeilaufende Schaf wird ein Strich gemacht oder ein Kieselstein in eine Urne gelegt. Phantasieschwierigkeiten gibt es jetzt nicht mehr. Taucht ein neues Schaf auf, brauchen wir nicht unseren Einfallsreichtum zu strapazieren, sondern nur einen weiteren Strich zu machen.
Auch ist es prinzipiell möglich, beliebig große Zahlen zu benennen. Dieses System wurde tatsächlich im Zweistromland verwendet. Archäologen fanden Urnen, die außen in Keilschrift eine bestimmte Zahl eingeritzt hatten. Innen fand man genau so viele Tonkügelchen wie außen vermerkt. Die Erklärung der Archäologen: Ein Hirte, der nicht schreiben konnte, hatte ein Geschäft mit einem Händler gemacht, etwa im Auftrag seines Herrn 43 Schafe verkauft.
Anstatt von siebentausendreizehn, spricht er (beispielsweise) von Maximo Perez , siebentausendvierzehn heißt bei ihm Eisenbahn. Andere Zahlen tragen Namen wie Luis Melian Lafinur, Olimar, ... Borges weist darauf hin, dass der Nachteil eines derartigen ungewöhnlichen Zahlsystems nicht nur darin besteht, dass es schwierig zu erlernen ist. Vielmehr stellt sich noch ein weiteres Problem, nämlich dass solche Systeme keinen unbegrenzten Vorrat an neuen Namen für Zahlen bereitstellen."
Bei großen Zahlen wäre unser Gedächtnis hoffnungslos überfordert. Unsere Phantasie würde nicht ausreichen, um immer wieder neue Zahlnamen zu erfinden. Noch einen wesentlicher Nachteil hat dieses Benennungssystem. Es steht in keinem Zusammenhang mit den Rechenoperationen, die in den natürlichen Zahlen möglich sind. Es muss also ein einfaches Buchhaltungssystem her. Das einfachste ist das so genannte Zaunsystem. Für jedes vorbeilaufende Schaf wird ein Strich gemacht oder ein Kieselstein in eine Urne gelegt. Phantasieschwierigkeiten gibt es jetzt nicht mehr. Taucht ein neues Schaf auf, brauchen wir nicht unseren Einfallsreichtum zu strapazieren, sondern nur einen weiteren Strich zu machen.
Auch ist es prinzipiell möglich, beliebig große Zahlen zu benennen. Dieses System wurde tatsächlich im Zweistromland verwendet. Archäologen fanden Urnen, die außen in Keilschrift eine bestimmte Zahl eingeritzt hatten. Innen fand man genau so viele Tonkügelchen wie außen vermerkt. Die Erklärung der Archäologen: Ein Hirte, der nicht schreiben konnte, hatte ein Geschäft mit einem Händler gemacht, etwa im Auftrag seines Herrn 43 Schafe verkauft.
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Autoren-Porträt von Andreas Bartholome, Josef Rung, Hans Kern
Dr. Andreas Bartholomé und Josef Rung unterrichten Mathematik und Physik am Hans-Leinberger-Gymnasium in Landshut. Dr. Hans Kern unterrichtet am Schyren-Gymnasium in Pfaffenhofen/Ilm Mathematik, Physik, Philosophie und Pädagogik.
Bibliographische Angaben
- Autoren: Andreas Bartholome , Josef Rung , Hans Kern
- 2007, 5Aufl. 2006, 185 Seiten, Deutsch
- Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
- ISBN-10: 3834890014
- ISBN-13: 9783834890016
- Erscheinungsdatum: 24.10.2007
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eBook Informationen
- Dateiformat: PDF
- Größe: 1.78 MB
- Ohne Kopierschutz
- Vorlesefunktion
Pressezitat
"Das Buch ist eine Fundgrube für alle Leser, die selbst noch Oberschüler sind, die mit mathematisch interessierten Oberschülern arbeiten, oder die sich – ob nun mathematischer Laie oder Profi – einfach die Freude und Neugier erhalten haben am Lösen mathematischer Probleme, die sich einfach aufschreiben lassen. […] Da dem Buch weitere Auflagen zu wünschen sind […], können wir gespannt auf Zukünftiges sein."Computeralgebra-Rundbrief, 3/2007
"Gut geeignet für Schüler der Kollegstufe und für Lehrkräfte, zur Erst- oder Nachbeschaffung empfohlen." ekz-Bibl. Bereich ID 42/01
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