Differential- und Integralrechnung II
Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen, Differentialgleichungen
differenzierbar, wenn es eine in Xo stetige Abbildung x -+ ,1. Pds. von U in den dual en Raum Hom (JRn, JR) gibt, so daB /(x)=f(xo)+,1x(x-x ) o gilt. Diese Definition ilbertragt sich auf den Fall, wo Xo Punkt eines separierten topologischen Vektorraumes E...
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Produktinformationen zu „Differential- und Integralrechnung II “
Klappentext zu „Differential- und Integralrechnung II “
differenzierbar, wenn es eine in Xo stetige Abbildung x -+ ,1. Pds. von U in den dual en Raum Hom (JRn, JR) gibt, so daB /(x)=f(xo)+,1x(x-x ) o gilt. Diese Definition ilbertragt sich auf den Fall, wo Xo Punkt eines separierten topologischen Vektorraumes E ist und die Werte von f in einem ebensolchen Vektorraum F liegen. Man hat dazu den Raum Hom (E, F) der stetigen linearen Ab bildungen von E in F mit einer Pseudotopologie zu versehen 1: Man betrachtet z. B. genau die Filter Pds. auf Hom (E, F) als gegen 0 kon vergent, die folgende Eigenschaft haben: Fur jeden Filter ~ auf Emit m· ~ -+ 0 gilt Pds. (~) -+ 0 in F. Dabei ist m der Filter der Nullumge bungen in JR, m· ~ wird von den N A mit N E m und A E ~ erzeugt, Pds. (~) von den L (A) = u A. (A) mit L E Pds. und A E~. Man kann nun die Differenzierbarkeit ~au wie oben definieren, nur ist unter x -+ ,1x jetzt eine in Xo stetige Abbildung von U in Hom (E, F) zu verstehen. Man zeigt: Da die naturliche Abbildung Hom(E,F)XE-+F stetig ist, ist ,1xo eindeutig bestimmt und kann als Ableitung von f im Punkt Xo bezeichnet werden. Auch jetzt folgt aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit; es gilt die Kettenregel.
Inhaltsverzeichnis zu „Differential- und Integralrechnung II “
Erstes Kapitel. Wege im ?n.-1. Der n-dimensionale Raum.-
2. Wege.-
3. Bogenlänge.-
4. Der ausgezeichnete Parameter.-
5. Spezielle Kurven.-
6. Tangente und Krümmung.- Zweites Kapitel. Topologie des ?n.-
1. Umgebungen.-
2. Kompakte Mengen.-
3. Punktfolgen.-
4. Funktionen. Stetigkeit.-
5. Funktionenfolgen.-
6. Abbildungen.- Drittes Kapitel. Differentialrechnung mehrerer Veränderlichen.-
1. Differenzierbarkeit.-
2. Elementare Regeln.-
3. Ableitungen höherer Ordnung.-
4. Die Taylorsche Formel.-
5. Die Taylorsche Reihe.-
6. Lokale Extrema.-
7. Einige unendlich oft differenzierbare Funktionen.- Viertes Kapitel. Tangentialvektoren und reguläre Abbildungen.-
0. Einiges aus der linearen Algebra.-
1. Derivationen.-
2. Transformation von Tangentialvektoren.-
3. Pfaffsche Formen.-
4. Reguläre Abbildungen.-
5. Umkehrabbildungen.-
6. Gleichungssysteme und implizite Funktionen.-
7. Extrema bei Nebenbedingungen.- Fünftes Kapitel. Einige Typen gewöhnlicher Differentialgleichungen.-
1. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung.-
2. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung.-
3. Variablentransformation.-
4. Die Riccatische Differentialgleichung.-
5. Allgemeine Klassen von Differentialgleichungen.-
6. Komplexwertige Funktionen.-
7. Die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- Sechstes Kapitel. Existenzsätze.-
1. Gleichartig stetige Funktionen.-
2. Der Existenzsatz von Peano.-
3. Die Lipschitz-Bedingung.-
4. Verlauf der Integralkurven im Großen.-
5. Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen.-
6. Die allgemeine Lösung.-
7. Die Stammfunktion einer Differentialgleichung.- Siebtes Kapitel. Lösungsmethoden.-
1. Pfaffsche Formen.-
2. Reguläre Punkte einer Pfaffschen Form.-
3. Der Eulersche Multiplikator.-
4. Differenzierbare Transformationen.-
5. Singularitäten Pfaffscher Formen.-
6. Das Iterationsverfahren von Picard und Lindelöf.-
7. Lösung durch Potenzreihenansatz.- Achtes
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Kapitel. Systeme von Differentialgleichungen, Differentialgleichungen höherer Ordnung.-
1. Systeme von expliziten Differentialgleichungen erster Ordnung - Existenz- und Eindeutigkeitssätze.-
2. Lineare Systeme erster Ordnung.-
3. Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten.-
4. Explizite gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung.-
5. Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- A. Die Besselsche Differentialgleichung.- B. Die Legendresche Differentialgleichung.- C. Die Schrödinger-Gleichung.- Literatur.- Wichtige Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
1. Systeme von expliziten Differentialgleichungen erster Ordnung - Existenz- und Eindeutigkeitssätze.-
2. Lineare Systeme erster Ordnung.-
3. Homogene lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten.-
4. Explizite gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung.-
5. Spezielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- A. Die Besselsche Differentialgleichung.- B. Die Legendresche Differentialgleichung.- C. Die Schrödinger-Gleichung.- Literatur.- Wichtige Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
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Bibliographische Angaben
- Autoren: Hans Grauert , Wolfgang Fischer
- 1978, 3., verb. Aufl., 230 Seiten, 25 Abbildungen, Maße: 20,3 cm, Taschenbuch, Deutsch
- Verlag: Springer
- ISBN-10: 3540086978
- ISBN-13: 9783540086970
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