Separabilität in kommutativen und auflösbaren Algebren. Unter Berücksichtigung nicht-unitärer assoziativer Algebren; mit 241 Übungsaufgaben

Textprobe:
Einleitung:
In der Strukturtheorie assoziativer Algebren spielen das Nilradikal und seine Faktorstruktur eine zentrale Rolle. Das Nilradikal führt zur Untersuchung nilpotenter und seine Faktorstruktur zur Untersuchung halbeinfacher Algebren. Ist die Radikalfaktorstruktur einer endlich-dimensionalen assoziativen unitären Algebra separabel, so besagt der Satz von Wedderburn-Malcev, dass die Algebra eine zur Radikalfaktorstruktur isomorphe Teilalgebra besitzt und dass je zwei solche Teilalgebren, die in dieser Arbeit auch Radikalkomplemente genannt werden, unter der Einheitengruppe der Algebra konjugiert sind. Eine Einführung in diese Theorie wird im ersten Kapitel dieser Arbeit bereitgestellt. Dort betrachten wir auch Beispiele separabler Algebren und Beispiele zur Thematik des Satzes von Wedderburn-Malcev.
In der gängigen Literatur wird der Satz von Wedderburn-Malcev durchweg nur für unitäre Algebren bewiesen. Anschließend wird kurz erwähnt, dass jede Algebra in eine unitäre eingebettet und demzufolge der Satz auch für nicht notwendig unitäre Algebren gilt (vgl. z.B. [4], erster Absatz auf Seite 3). Somit ist ein Vorschlag für diese Erweiterung vorhanden, doch existiert in der gängigen Literatur kein Beweis dazu. Deswegen widmen wir uns diesem Beweis in Kapitel 2 dieses Werkes. Durch eine genaue Analyse der im ersten Abschnitt dieses Kapitels (Adjunktion einer Eins) vorgestellten Einbettung sowie durch eine Untersuchung halbeinfacher Algebren in Hinblick auf die Existenz eines Einselementes können wir im zweiten Abschnitt die Existenzaussage des Satzes von Wedderburn-Malcev für nicht notwendig unitäre Algebren beweisen. Danach stellt sich die Frage, in welchem Sinne zwei Radikalkomplemente in nicht-unitären Algebren konjugiert sein könnten. Deswegen betrachten wir im dritten Abschnitt die Sterngruppe, eine Verallgemeinerung der Einheitengruppe einer assoziativen Algebra. Das Zusammenspiel der Sterngruppe mit der Adjunktion einer Eins wird untersucht mit

Sven Bodo Wirsing wurde 1975 in Neumünster (Schleswig-Holstein) geboren. Nach dem Abitur an der KKS in Itzehoe mit den Schwerpunkten Mathematik und Physik studierte er Mathematik mit dem Nebenfach BWL an der CAU zu Kiel. Seine Promotion schloss er 2005 als Dr. rer. nat. in Gruppen- und Algebrentheorie ab. In der Arbeitsgruppe "Algebrentheorie" sammelte er Erfahrungen in der Analyse strukurübergreifender Prozesse, die sich in verschiedenen Disziplinen der Algebra wie etwa Gruppen-, Darstellungs-, Lie- und assoziativer Algebrentheorie ansiedeln lassen. Aus dieser Erfahrung heraus studierte und analysierte er auch die Thematik des vorliegenden Werkes.
Inzwischen arbeitet Dr. Wirsing als Senior-IT-Berater für Logistik-Prozesse bei der Brandt&Partner GmbH und ist dort u.a. für die Logistik-Optimierung und -Betreuung bei FRESENIUS NETCARE zuständig.

2012 hat er begonnen, mathematische Fachliteratur zu veröffentlichen:
- Über separable Elemente in assoziativen Algebren, AVM-Verlag, 2012, München
- Über Einheitengruppen modularer Gruppenalgebren, AVM-Verlag, 2012, München
- Über die Struktur der Solomon-Tits-Algebren, AVM-Verlag, 2013, München.